Antony Blinken växte upp i Yonkers i New York och i Paris, dit han flyttade med sin mor och styvfadern, den polsk-amerikanske författaren och förintelseöverlevaren Samuel Pisar (1929–2015). Både hans biologiska far Donald M. Blinken (1925–2022) och dennes bror var ambassadörer i Europa på 1990-talet.