Drew Weissman föddes i Lexington, Massachusetts. Han utbildade sig inom biokemi med inriktning mot enzymers funktioner vid Brandeis University, Waltham, Massachusetts, och tog där sin magisterexamen 1981. Därefter utbildade Weissman sig vid Boston University till läkare med doktorsexamen 1987 i immunologi och mikrobiologi. Efter doktorsexamen genomgick han klinisk utbildning vid