Møller var son till en redare i Svendborg på Fyn och tidigt verksam inom shipping. Han grundade firman A.P. Møller och de s.k. Mærskrederierna (A/S Dampskibsselskabet Svendborg, Dampskibsselskabet af 1912 A/S), som under hans ledning utvecklades till en av världens största och bäst konsoliderade rederigrupper. Företaget fick sitt genombrott sedan