Ursprungligen från Bristol, där han i kompanjonskap med två av sina bröder drivit arkitekt- och byggnadsfirma, kom Greenway 1814 till Australien som straffånge och blev kolonins förste professionelle arkitekt. I Sydneyregionen uppförde han ett flertal välbyggda offentliga byggnader företrädesvis i gregoriansk stil.