Sune Almkvist var aktiv i flera idrotter, men är framför allt känd som forward och spelutvecklare i bandy. Som lagkapten ledde han i denna idrott IFK Uppsala till 11 SM-guld (1907–20) och är därmed den spelare som har flest SM-guld i bandy. Åren 1925–50 var han ordförande i Svenska bandyförbundet.