B:s viktigaste insatser gjordes inom analysen, där han genom att angripa komplicerade problem, bl.a. med hjälp av idéer från mängdläran, lade grunden till nya teorier. Sålunda ledde problem inom analytisk fortsättning till skapandet av måtteorin samt till formulerandet av och beviset för Heine–Borels sats, medan B:s bevis av Picards sats