differentialgeometri
differentialgeometri, det område inom matematiken i vilket man studerar geometriska objekt som kurvor och
(14 av 95 ord)Kurvor i rummet
Med avseende på ett rätvinkligt koordinatsystem i rummet ges en kurva lokalt av ekvationerna
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
där x(t), y(t) och z(t) antas vara deriverbara funktioner av parametern t. Det är bekvämt att införa funktionen
c(t) = (x(t), y(t), z(t)).
En tangentvektor till kurvan i punkten c(t) ges av derivatan
c′(t) = (x′(t), y′
(60 av 502 ord)Ytor i rummet
Med avseende på ett rätvinkligt koordinatsystem i rummet ges en yta lokalt av ekvationerna
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v),
där x(u, v), y(u, v) och z(u, v) antas vara deriverbara funktioner av parametrarna u och v, vilka är definierade i ett område U av planet.
På samma sätt som en kurva i rummet bestäms av krökning och torsion, bestäms en yta i rummet av två matematiska uttryck,
(74 av 806 ord)Inre geometri för ytor
Eftersom så väsentliga geometriska storheter som Gauss-krökningen och de geodetiska linjerna kan bestämmas ur första fundamentalformen kan ytbegreppet generaliseras. En yta kan lokalt betraktas som ett område i planet tillsammans med en metrik
ds2 = E du2 + 2 F du dv + G dv2,
där E,
(47 av 378 ord)Riemannska mångfalder
Geometri för ytor kan generaliseras till objekt av dimension n. Ytan ersätts då av en n-dimensionell Riemannsk mångfald, som lokalt är ett område i det n-dimensionella rummet med variablerna (x
(30 av 216 ord)