Vinogradov gjorde sina viktigaste insatser inom den analytiska talteorin. Hans detaljerade studier av trigonometriska summor ledde till nya resultat rörande Warings problem, och han visade 1937 i anslutning till Goldbachs förmodan att varje tillräckligt stort (nu vet man att större än 3³¹⁵ räcker) udda tal är summan av