Efter att ha genomgått Balettakademien i Stockholm på 1980-talet uppmärksammades Kvarnström för kraftfullhet och intensitet i dans och koreografi. I verk som ”Carmen” (1993) har han även visat sin förmåga som komiker. Åren 1993–94 var Kvarnström professor i koreografi vid Teaterhögskolan i Helsingfors. Han var konstnärlig ledare för Helsingfors stadsteaters danskompani